如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做作a的約數(shù)．約數(shù)和倍數(shù)都表示一個數(shù)與另一個數(shù)的關系，不能單獨存在．如只能說16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說16是倍數(shù)，2是約數(shù)．
“倍”與“倍數(shù)”是不同的兩個概念，“倍”是指兩個數(shù)相除的商，它可以是整數(shù) 小數(shù)或者分數(shù)．“倍數(shù)”只是在數(shù)的整除范圍內，相對于“約數(shù)”而言的一個數(shù)字概念，表示的是能被某一個自然數(shù)整除的數(shù)，它必須是一個自然數(shù)．
幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)．例如12，16的公約數(shù)有1，2，4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數(shù)，一般記為（12，16）=4．12，15，18的最大公約數(shù)是3，記為（12，15，18）=3．
常用的求最大公約數(shù)的方法是分解質因數(shù)法和短除法．
分解質因數(shù)法，把每個數(shù)分別分解質因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)．例如，求24和60的最大公約數(shù)．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數(shù)是2，2和3，它們的積是2×2×3=12，所以（24，60）=12．
短除法，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾數(shù)的最大公約數(shù)．例如，求24，48，60的最大的公約數(shù)．
�。�24，48，60）=2×3×2=12
幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)．例如4的倍數(shù)有4，8，12，16，……，6的倍數(shù)有6，12，18，24，4和6的公倍數(shù)有12，24，……，其中最小的是12，一般記為4，6=12．12，15，18的最小公倍數(shù)是180，記為12，15，18=180．
常用的求最小公倍數(shù)的方法是分解質因數(shù)法和短除法．
分解質因數(shù)法，首先把這幾個數(shù)先分別分解質因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質因數(shù)和獨有的質因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)．例如求6和15的最小公倍數(shù)．6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數(shù)是3，6獨有質因數(shù)是2，15獨有質因數(shù)是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質因數(shù)2和3，還包含了15的全部質因數(shù)3和5，且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個，所以6，15=30．
短除法，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)去除每一個數(shù)，再用部分數(shù)的公約數(shù)去除，并把不能整除的數(shù)移下來，一直除到所得的商中每兩個數(shù)都是互質數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)．例如求12，15，18的最小公倍數(shù)．
12，15，18=3×2×2×5×3=180
在解有關最大公約數(shù) 最小公倍數(shù)的問題時，常用到以下結論：
�。�1）如果兩個數(shù)是互質數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．
例如8與9，它們是互質數(shù)，所以（8，9）=1，8，9 =72．
（2）如果兩個數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)．
例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，18，3=18．
�。�3）兩個數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質數(shù)．
例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數(shù)．
�。�4）兩個數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積．
例如12和16，（12，16）=4，12，16=48，有4×48=12×16．
下面討論有關最大公約數(shù) 最小公倍數(shù)的問題．
例1 將長200厘米，寬120厘米，厚40厘米的長方體木料鋸成同樣大小的正方體木塊，而沒有剩余，共有多少種不同的鋸法？當正方體的邊長是多少時，鋸成的小木塊的體積最大，共有多少塊？
分析：由題意知，鋸成的小正方體的邊長應能整除200，120和40，也就是說，小正方體的邊長是這三個數(shù)的公約數(shù)，得出的不同的公約數(shù)的個數(shù)就代表有多少種不同的鋸法．另外要求鋸成的小木塊的體積最大時的正方體的邊長，只要使小正方體的邊長為最大就行了，即求200，120和40的最大公約數(shù)．最后可求得鋸的塊數(shù)。
解：
40的約數(shù)個數(shù)為（3+1）×（1+1）=8鋸的塊數(shù)（200÷40）×（120÷40）×（40÷40）=5×3×1=15
答：共有8種鋸法，當正方體的邊長是40厘米時，鋸成的小木塊的體積最大，共有15塊．
例2 求1300到1400玻璃球數(shù)，使之分別按三個三個數(shù)，四個四個數(shù)，五個五個數(shù)，六個六個數(shù)，最后都差一個，改為七個七個數(shù)時，正好數(shù)完．
分析：這個數(shù)必然是3，4，5，6的公倍數(shù)差1，而又是7的倍數(shù)．3，4，5，6的最小的公倍數(shù)是60，因此這個數(shù)可表示為60k—1（k是自然數(shù)）．當k=1時，60×1-1=59，被7除余3；當k=2時，60×2-1=119，被7整除．符合三個三個數(shù)，四個四個數(shù)，五個五個數(shù)，最后都差一個，且七個七個數(shù)，正好數(shù)完，但所求數(shù)要求在1300至1400之間，只要在119基礎上，增加3，4，5，6，7的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍就可得到所求．
解：因為（3，4，5，6）=60，因此這個數(shù)可表示為60k-1（k是自然數(shù)），當k=2時，60×2-1=119能被7整除；又（3，4，5，6，7）=420，所以這個數(shù)可表示為119+420m（m是自然數(shù)），當m=3時，119＋420×3=1359，1359即為所求．
例3 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是360，且這兩個數(shù)相差75，求這兩個數(shù)．
分析：根據(jù)最大公約數(shù) 最小公倍數(shù)的定義，360÷15=24，24是所求的兩個數(shù)它們各自獨有的不同的約數(shù)的乘積，并且它們的這兩個約數(shù)必然互質，即用所求的兩個數(shù)的最大公約數(shù)分別除這兩個數(shù)所得的商的積等于24，且24必是兩個互質數(shù)的乘積，很容易得到24=1×24=3×8，1與24，3與8分別互質，這樣得到兩組解：
15×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75，得到了問題的解．
解：因為360÷15=24，24=1×24=3×815×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75
所以這兩個數(shù)分別為45，120．
例4 試用2，3，4，5，6，7六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)盡可能大？
分析：因為540=22×33×5，而2，3，4，5，6，7中只有一個5，因此這六個數(shù)字組成的兩個三位數(shù)中不會有公約數(shù)5，所以這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)只可能為22×33=108，再進行試驗，108×2=216，216中1不是已知數(shù)字，108×3=324，還剩5，6，7三個數(shù)字，而108×7=756，于是問題得到解決．
解：因為540=22×33×5，所以2，3，4，5，6，7這六個數(shù)組成的兩位數(shù)與540的最大公約數(shù)只可能為22×33=108，經試驗得到108×3=324，108×7=756，所以324，756即為所求．
例5 在800米的環(huán)島上，每隔50米插一面彩旗，后來又增加了一些彩旗，就把彩旗的間隔縮短了，起點的彩旗不動，重新插完后發(fā)現(xiàn)，一共有4根彩旗沒動，問現(xiàn)在的彩旗間隔多少米？
分析：800米環(huán)島每隔50米插一面彩旗，共插800÷50=16根，重新插完后，有4根沒動，而這4根中的任意相鄰的兩根間的距離為50×（16÷4）=200米，重新插完后每相鄰的兩根彩旗間的距離與50的最小公倍數(shù)是200，并且這個距離一定小于50米，把符合這樣條件的數(shù)求出來即為所求．
解：因為800÷50＝16（根），重新插完后，在這4根不動的彩旗中，任意相鄰的兩根間的距離為：50×（16÷4）=200米，重新插后，任意相鄰兩根的距離為a米，則a，50］=200，且a＜50．又因為200=23×52，50＝2×52，根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，a=23或23×5，即現(xiàn)在的彩旗間隔是8米或40米．