小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練“十佳”題（3）
1、分?jǐn)?shù)3/71的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)相同的數(shù)，使分?jǐn)?shù)變成1/5。問：這個(gè)加上的數(shù)是多少？（類比轉(zhuǎn)化法）
【分析與解答】本題的要求是要我們求分子和分母同加上什么數(shù)，使分?jǐn)?shù)的分母是分子的5倍。因?yàn)榉肿雍头帜覆还芗由鲜裁磾?shù)，它們的差71—3=68是不變的，所以，根據(jù)這一特點(diǎn)，我們一定會想起本題和年齡問題相類似。例如，兒子今年6歲，父親33歲，問幾年以后父親的年齡正好是兒子的4倍？父親與兒子的年齡差是27歲，這個(gè)差是不變的。幾年后父親的年齡是兒子的4倍，27歲相當(dāng)于幾年后兒子年齡的（4—1=）3倍。用除法就可以求出：（33—6）÷（4—1）=9歲，9—6=3年，也就是3年后父親的年齡是兒子的4倍。
同理，本題中分母與分子的差68相當(dāng)于新分子的（5—1=）4倍，用除法可求出新分子，進(jìn)而再求出分子和分母同加上的是什么數(shù)。（71—3）÷（5—1）—3=14，即分子與分母同時(shí)加上14，可以使分?jǐn)?shù)變成1/5。
2、某商品76件，出售給33位顧客，每位最多買3件，買1件按定價(jià)，買2件降價(jià)10%，買3件降價(jià)20%。最后結(jié)算，平均每件恰好按原價(jià)的85%出售，那么買3件的顧客有多少人？（類比轉(zhuǎn)化法）
【分析與解答】題目已給出平均數(shù)85%，可以作為比較的基準(zhǔn)。1人買3件少5%×3；1人買2件多5%×2；1人買1件多15%×1。1人買3件與1人買1件組成A組，即按1：1的比例；2人買3件與3人買2件組成B組，即按2；3的比例。A組是2人買4件，每人平均買2件；B組是5人買12件，每人平均買2.4件。
現(xiàn)在已經(jīng)建立了一個(gè)雞兔同籠模型的問題：總腳數(shù)76，總只數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2。B組人數(shù)是（76—2×33）÷（2.4—2）=25人，其中買3件的有25÷（2+3）×2=10人，買2件的有25÷（2+3）×3=15人；A組人數(shù)是33—25=8人，其中買3件的有4人，買1件的有4人。也就是說買3件的一共有10+4=14人。
3、兩人輪流從1，2，3，……，9這9個(gè)數(shù)字中取數(shù)。每次取1個(gè)，誰先取的數(shù)中有3個(gè)數(shù)的和為15就算贏家。如果第1個(gè)人取的數(shù)是5，那么第2個(gè)人應(yīng)該取幾才能使自己立于不敗之地？（類比轉(zhuǎn)化法）
【分析與解答】這個(gè)問題實(shí)際上是“井字棋”游戲，乙的對策如果不對，會導(dǎo)致失敗。本題條件中的“和為15”，使我們聯(lián)想到“三階幻方”，它的每行、每列及對角線的和都是15。故本題等價(jià)于甲乙二人輪流將黑白二色棋子放入九宮格中，哪一方放入的棋子先成一行（橫行、豎行和斜行）者為勝。甲先占了中間一格，乙應(yīng)選哪一格才能保證自己不敗？
假設(shè)乙選擇邊上的位置，比如選3，則甲選4，乙只好選6。甲再選2，這時(shí)8、9這兩個(gè)位置乙只能選一個(gè)，甲必得其一，這樣甲就必勝無疑了。
當(dāng)甲選5時(shí)，乙應(yīng)選九宮格中位角上的數(shù)字，即應(yīng)選2、4、6、8中的一個(gè)，才能使自己立于不敗之地。
4、21個(gè)球隊(duì)用淘汰制決定冠軍，總共要賽多少場？（逆推法）
【分析與解答】淘汰制就是每兩個(gè)隊(duì)比賽一場淘汰一個(gè)隊(duì)，依此類推，賽到最后一對，勝利者就是冠軍。解答此題的一般是順推法，比較復(fù)雜，如果用逆推法就簡單、巧妙得多。
因?yàn)樘蕴粋�(gè)隊(duì)要賽1場，總共是21個(gè)隊(duì)，而獲得冠軍的只有1個(gè)隊(duì)，也就是說要淘汰20個(gè)隊(duì)，總共要賽20場。
5、一份試卷共25道題。每一道題給出4個(gè)答案，其中只有一個(gè)正確。要求考生把正確的選出來，每選對一題得4分，不選或錯(cuò)選扣1分。如果一個(gè)學(xué)生得90分，那么他做對了幾道題？（逆推法）
【分析與解答】此題按正向思維的方法解，很難，要不就用假設(shè)法。如果用逆推法就簡單、巧妙得多。因?yàn)檫x錯(cuò)或不選扣1分，與做對相比，損失5分，得90分的人被扣了10分，這就是選錯(cuò)或不選的有2道題，所以選對了23題。
6、一年級和六年級共100人摘了100千克茶葉，六年級每人摘3千克，一年級每3人摘1千克，問一年級和六年級各有多少人？（分組法）
【分析與解答】學(xué)生一般用假設(shè)法來解答這類題。如果用分組法解答此題就更簡單、更容易理解。
因?yàn)榱昙?人摘3千克，一年級3人摘1千克，所以把六年級的1人和一年級的3人分為一組，這4人可以摘茶葉4千克，100千克里有幾個(gè)4千克，就有幾組學(xué)生，有幾組就有幾名六年級的學(xué)生。100÷（3+1）=25人，100—25=75人。
7、甲乙二人做換棋子游戲，甲有100個(gè)棋子，乙有20個(gè)棋子。如果甲每次給乙5個(gè)棋子，乙再還給甲3個(gè)棋子，那么按照這樣的方法連續(xù)調(diào)換多少次，乙的棋子是甲的3倍？（抓不變量）
【分析與解答】此題如果我們按照甲的棋子每次減少（5—3）個(gè)，乙的棋子每次增加（5—3）個(gè)，一步一步地推算，解答起來就很麻煩。如果能抓住“和不變”進(jìn)行思考，問題就簡單了。當(dāng)“乙的棋子是甲的3倍”時(shí)，則兩人共有的棋子（100+20）個(gè)就相當(dāng)于甲這時(shí)所有棋子的（3+1）倍。（100+20）÷（3+1）=30個(gè)，（100—30）÷（5—3）=35次。
8、龜兔進(jìn)行10000米賽跑，兔子的速度是龜?shù)乃俣鹊?倍，當(dāng)它們從起點(diǎn)一起出發(fā)后，龜不停地跑，兔子跑到某一地點(diǎn)開始睡覺，兔子醒來時(shí)，龜已經(jīng)領(lǐng)先它5000米。兔子奮起直追，但龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子仍落后100米，那么兔子睡覺期間龜跑了多少米？（靈感思維）
【分析與解答1】假定兔子不睡覺（這是巧妙之處），當(dāng)龜跑完全程10000米時(shí)，兔子應(yīng)跑10000×5=50000米，但實(shí)際上只跑了10000—100=9900米，少跑了50000—9900=40100米，這40100米正是兔子睡覺所耽誤的路程。因此在兔子睡覺期間龜跑了40100÷5=8020米。
【分析與解答2】假定兔子一次性跑到離終點(diǎn)100米處在睡覺（這是巧妙之處），此時(shí)兔子跑了10000—100=9900米，龜跑了9900÷5=1980米，剩下10000—1980=8020米，這正是在兔子睡覺期間龜跑的路程。我們不難發(fā)現(xiàn)，題目中的條件“5000米”是多余的。
9、把14拆成幾個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可使乘積最大？（極端思維）
【分析與解答】十分明顯，這樣的數(shù)是很多的，我們不可能也沒有必要一一找，如果用極端思維，情況就變得十分簡單了。首先把14這個(gè)數(shù)推向最大的一端，拆的個(gè)數(shù)要盡可能多，多一個(gè)可多乘一次，接著把加數(shù)推向最小一端：加數(shù)不宜超過4，比如5拆成2和3，則2×3＞5，這就說明加數(shù)大于4的，要盡量拆小；但不應(yīng)出現(xiàn)1，因?yàn)?與任何數(shù)的乘積仍為原數(shù)；另外在所拆的數(shù)中，2的個(gè)數(shù)不能多于2，因?yàn)?×2×2＜3×3。
這樣14應(yīng)盡可能拆成3，因?yàn)?×3=12，所以14拆成了3、3、3、3、2時(shí)，這些數(shù)的乘積最大，其乘積為3×3×3×3×2=162。
10、有一天，某商店估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個(gè)。已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，為了使這一天能賺得更多利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？（極端思維）
【分析與解答】這道題目的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，而題目所給的條件不夠充分，若用一般的方法去分析解答，看來比較困難。我們不妨抓住題目中的“漲價(jià)”和“銷量減少”這兩個(gè)極端，問題就容易解答了。
因?yàn)榘疵總�(gè)100元出售，能賣出500個(gè)，每個(gè)漲價(jià)1元，其銷量減少10個(gè)，所以，這種商品是按單價(jià)90元進(jìn)貨，共進(jìn)了600個(gè)。現(xiàn)把600個(gè)商品按每份10個(gè)，可分成60份，因每個(gè)漲價(jià)1元，銷售就減少1份（即10個(gè)）；相反，每個(gè)減少1元，銷售就增加1份。所以，每個(gè)漲價(jià)的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個(gè)30時(shí)，即每個(gè)漲價(jià)30元，賣出30份，此時(shí)有最大利潤。因此，每個(gè)售價(jià)定為90+30=120元時(shí)，這一天能獲得最大利潤。