初三試卷:北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊定理知識點(diǎn)匯總

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摘　要：九年級(下冊)北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總第一章直角三角形邊的關(guān)系詳情內(nèi)容在word版中第二章二次函數(shù)詳情內(nèi)容在word版中第三章圓一.車輪為什么做成圓形1.圓的定義：描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個......

九年級(下冊)北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總

第一章直角三角形邊的關(guān)系

詳情內(nèi)容在word版中

第二章二次函數(shù)

詳情內(nèi)容在word版中

第三章圓

一. 車輪為什么做成圓形

1. 圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。

對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。

2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則

①點(diǎn)在圓上 <===> d=r;②點(diǎn)在圓內(nèi) <===> d d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個點(diǎn)與一個定點(diǎn)、的距離相等。

二. 圓的對稱性:

1. 與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣�。�

�。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，

讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。

優(yōu)�。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.

2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)��；⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。

推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:

1. 1°的弧的概念: 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應(yīng)的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.

2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成∠AOB= ,這是錯誤的.

3. 圓周角的定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.

4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；

推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

四. 確定圓的條件:

1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.

2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況:

(1) 經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個圓.

定理: 不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做這個三角形的外接圓,

這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五. 直線與圓的位置關(guān)系

1. 直線和圓相交、相切相離的定義:

(1)相交: 直線與圓有兩個公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.

(2)相切: 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).

(3)相離: 直線和圓沒有公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相離.

2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；

①d 直線L和⊙O相交.②d=r<===>直線L和⊙O相切.③d>r <===>直線L和⊙O相離.

3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.

①垂直于切線; ②過切點(diǎn); ③過圓心.

5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.

6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì):

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等. (2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個內(nèi)角.

六. 圓和圓的位置關(guān)系.

1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離: 兩個圓沒有公共點(diǎn),并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個公共點(diǎn)以外,每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相交: 兩個圓有兩個公共點(diǎn),此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個公共點(diǎn)以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點(diǎn), 并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.

2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:

(1)兩圓外離 <===> d>R+r (2)兩圓外切 <===> d=R+r

(3)兩圓相交<===> R-rd=R-r (R>r)

(5)兩圓內(nèi)含 <===> dr)

3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.

4. 相交兩圓的性質(zhì): 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

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